PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON LINIER MENGGUNAKAN NEWTON RAPHSON

A.     Tujuan

1.      Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya menggunakan metode Newton Raphson.

2.      Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang diberikan.

B.     Dasar Teori

Metode newton raphson merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip utama sebagai berikut :

1.      Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung ( gradien ) pada suatu titik nilai awal.

2.      Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung ( gradien ) kurva dengan sumbu x.

Metode newton raphson adalah metode iterasi untuk memecahkan persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’. Metode ini menggunakan suatu garis lurus sebagai hampiran fungsi. Garis tersebut adalah garis singgung pada kurva. Dengan menggunakan suatu nilai awal x_o dan ditetapkan x_i adalah titik potong sumbu x dengan garis singgung pada kurva f dititik x_o.maka :

Dalam setiap iterasi akan terbentuk x_i secara berulang-ulang hingga manghasilkan nilai X yang membuat f(x) = 0.

Turunan pertama dari f(x) terhadap x adalah sama dengan kemiringan garis singgung di titik tersebut.

Dalam metode ini prinsip pengurangan akar tidak dipergunakan lagi, akibatnya metode ini tidak dijamin lagi kekonvergenannya. Iterasi dihentikan apabila dua iterasi yang beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama. Metode dapat berhasil, jika selama iterasi nilai fungsi turunan  tidak boleh sama dengan nol.

C.     Algoritma

Masukkan : f(x), x₀ , epsilon, M (maksimum banyaknya iterasi)

Keluaran   : akar , grafik  f(x)

Langkah    :

            1). iterasi = 1;

            2). Jika f’(x₀) = 0 maka proses gagal. Selesai

            3). x_baru = x₀ – f(x₀)/f’(x₀);

            4). Jika | (x_baru – x₀ )/(x_baru) | £ epsilon maka akar = x_baru .

                  Selesai

            5). x₀ = x_baru

            6). iterasi = iterasi + 1;

            7). Jika iterasi £ M maka kembali ke langkah 2).

D.    Flowchart

 

Iter  = 0  h = 0,5

fun = f(x0)  àfungsi f(x) dengan x = x0                                                            à fungsi turunan f(x) x0 à galat perhitungan nilai x

 

akar = x0 -

x0 = x0 -

akar = x0 func = f(akar)

                                                                                                              

E.     Implementasi

·                                                                                                                                                                                                              M file à newtonarif2.m

 

 

·        Fungsi à f(x) = x³

 

                                                                                                                      

·        Fungsi à f(x) = x²-5x+6

·        Fungsi à f(x) = x²-4x-5

 

·        Fungsi à f(x) = e^-x-x

·        Fungsi à f(x) = sin x³ + e^-x